Numerikus sorozatok/Alapfogalmak

Alapfogalmak

Egy számsorozat vagy numerikus sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív természetes számhoz egy valós (vagy komplex) számot rendel.

Jelölések

1. a sorozatokat, mint hozzárendeléseket az

   $(a_n),(b_n),...,(x_n),(y_n),...$

   szimbólumokkal jelöljük

2. ha ($a_n$) egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az n indexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:

   $a_n$

3. gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:

   $(a_n)=(a_1,a_2,a_3,...)$

4. szokás még néhány első tag után odaírni az $a_n$ általános tagot is:

   $(a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...)$

5. a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:

   $s:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℝ$ vagy

   $s\in {ℝ}^{{\mathbb{Z}}^{+}}$

Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának $s_n$ jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.

Példák

• $(b_n)=(n^2)=(1,4,9,16,25,...),$
• $(c_n)=((2^n)=(2,4,8,16,32,64,...),$
• $(d_n)=(2n+1)=(3,5,7,...,2n+1,...),$
• $(e_n)=(\sqrt{n})=(\sqrt{1},\sqrt{2},...,\sqrt{n},...),$
• $(f_n)=(n(n+1))=(1\cdot 2,2\cdot 3,3\cdot 4,...,n(n+1),...),$
• $(g_n)=(n)=(1,2,3,...,n,...)$ (a természetes számok sorozata),
• $(h_n)=((-1{)}^n)=(-1,1,-1,1,...,(-1{)}^n,...)$ a "-1, 1" alternáló sorozat)
• $(q_n)=\left(\frac{1}{n}\right)=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{n},...)$ (a természetes számok reciprokainak sorozata)
• $(r_n)=\left(\frac{1}{n^{(-1{)}^n}}\right)=(1,\frac{1}{2},3,\frac{1}{4},5,\frac{1}{6},...),$
• $(t_n)=(\sin \left(n\frac{\pi }{2}\right))=(1,0,-1,0,1,0,-1,...)$

Megjegyzések

Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok

$(p_n)=(2,3,5,7,11,...)$

sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.

A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:

$(a_n)=(a_0,a_1,a_2,a_3,...)$

Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a

$(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }},(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

jelölést.

A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az

$(a_n)=\left(\sqrt{n(n-5)}\right)$

sorozat a

$I=\{5,6,7,...\}\subseteq {\mathbb{Z}}^{+}$

számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat

$(a_n{)}_{n\in I}$

-vel is jelöljük.

Sőt, általában ha H,K ⊆ Z véges halmazok, akkor a

$({\mathbb{Z}}^{+}\cup H)\setminus K$

halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.

Feladatok

1. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra

$2^n>n$

(Útmutatás: teljes indukcióval.)

Megoldás

Tekintsük az n = 1 esetet! Ekkor a 2 > 1 egyenlőtlenséggel állunk szembe, ami igaz.

Legyen n tetszőleges és tegyük fel, hogy

$2^n>n$

(indukciós feltevés)

Feldatunk, hogy belássuk a

$2^{n+1}>n+1$

(konklúzió)

egyenlőtlenséget, mint az előző konklúzióját.

$2^{n+1}=2\cdot 2^n\underset{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{.}}{>}2\cdot n=n+n\ge n+1$

az egyenlőtlenségláncolat első és utolsó kifejezését összevetve kapjuk a kívánt konklúziót. A jelölt helyen használtuk fel az indukciós feltevést.

2. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges $a_1$,$a_2$,$a_3$ és $b_1$,$b_2$,$b_3$ valós számokra

$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\le \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$

(Útmutatás: Írjuk fel az ($a_1$,$a_2$,$a_3$) és ($b_1$,$b_2$,$b_3$) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)

Megoldás

...

3. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és $a_1$,$a_2$,$a_3$,...,$a_n$, $b_1$,$b_2$,$b_3$,...,$b_n$ valós számokra, hogy

${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)$

(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra

$(a_{i}x-b_i{)}^2=a_i^2{x}^2-2a_i{b}_{i}x+b_i^2\ge 0$

ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)

Megoldás

$(a_1^2+\cdots +a_n^2)x^2-2(a_1{b}_1+\cdots a_n{b}_n)x+(b_1^2+\cdots +b_n^2)\ge 0$

4. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra

$\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$

(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)² nemnegativitásából.)

Megoldás

...

5. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden $a_1$,$a_2$,$a_3$,...,$a_n$, nemnegatív valós számra

$\sqrt{\prod _{i=1}^n{a}_i}\le \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}$

(Útmutatás: .)

Megoldás

...