Matematika/Mátrix/Determináns

2×2-es mátrix determinánsa

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

2×2-es mátrix determinánsa

$det(A)=ad-bc.$

3×3-as mátrix determinánsa

$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$

3×3-as mátrix determinánsa

$det(A)=a\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg.$

ami tovább

$det(A)=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.$

Magasabb dimenziós mátrixok determinánsa

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

$n\times n$-es mátrix determinánsa

Egy négyzetes mátrix determinánsát a mátrix egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható, mert az $n\times n$-es mátrix determinánsának definíciójában $(n-1)\times (n-1)$-es mátrixok determinánsa szerepel.

• $1\times 1$-es mátrix determinánsa önmaga: $det(a)=a$

Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje :$A_{ij}$ az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! A minormátrixok determinánsát aldeterminánsnak nevezzük. A kifejtés során minden tagban a $a_{1j}det(A_{1j})$ kifejezést meg kell szorozni $(-1{)}^{1+j}$-vel Ekkor a determináns az első sor szerinti kifejtést használva:

$det(A)=a_{11}det(A_{11})-a_{12}det(A_{12})+a_{13}det(A_{13})-+\mathrm{...}+(-1{)}^{1+n}{a}_{1n}det(A_{1n})=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}det(A_{1j}).$

Igazolható, hogy a mátrix determinánsa bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):

$A=\left(\begin{array}{cccc}+& -& +& \dots \\ -& +& -& & \\ +& -& +& \dots & \\ ⋮& & ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Általánosan, bármely sora vagy oszlopa szerint meghatározhatjuk a mátrix determinánsát. Az $i$-edik sor szerinti kifejtés $\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij}).$ A $j$-edik oszlop szerinti kifejtés $\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij}).$

Kifejtési tétel: Egy mátrix determinánsa bármely sora vagy oszlopa szerinti kifejtés esetén megegyezik. $det(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij})=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}det(A_{ij}).$

Példa: Legyen:

$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 4& 3& 6& 4\\ 6& 7& 21& 16\\ 2& 3& 15& 23\end{array}\right]$

Ekkor det(A)=12, mivel:

$det(A)=a_{11}det(A_{11})-a_{12}det(A_{12})+a_{13}det(A_{13})-+\mathrm{...}+(-1{)}^{n+1}{a}_{1n}det(A_{1n}).$

, azaz:

$det(A)=2\left|\begin{array}{ccc}3& 6& 4\\ 7& 21& 16\\ 3& 15& 23\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{ccc}4& 6& 4\\ 6& 21& 16\\ 2& 15& 23\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ccc}4& 3& 4\\ 6& 7& 16\\ 2& 3& 23\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{ccc}4& 3& 6\\ 6& 7& 21\\ 2& 3& 15\end{array}\right|.$

, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:

$det(A)=2\ast (3\ast 243-6\ast 113+4\ast 42)-1\ast (4\ast 243-6\ast 106+4\ast 48)+1\ast (4\ast 113-3\ast 106+4\ast 4)-1\ast (4\ast 42-3\ast 48+6\ast 4).$

Determinánsok Tulajdonságai

• Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:

$det(AB)=det(A)det(B)$, bármely $A$ és $B$ n×n mátrixra.

• $det(r{I}_n)=r^n$, ebből következik

$det(rA)=det(r{I}_n\cdot A)=r^{n}det(A)$, bármely $A$ n×n mátrixra és bármely $r$ skalárra.

• $det(A^{-1})=det(A{)}^{-1}=1/det(A)$

• Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:

$det(A^{\mathrm{\top }})=det(A).$

• Egy $A$ mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
  1. Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
  2. Egy sor vagy oszlop $m$-el való szorzása a determináns $m$-el való szorzását okozza.
  3. Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
  4. A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai vagy sorai lineárisan összefüggnek
  5. Ha valamelyik oszlopa vagy sora csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a determinánst a csupa nulla sor vagy oszlop szerint kezdjük el kifejteni.

Példa

TODO