Matematika/Integrálszámítás/Szabályok

Alapintegrálok

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

$\int x^{n}dx$	$=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$	$(x\in ℝ,n\in \mathbb{N})$
$\int x^{\alpha }dx$	$=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+c$	$(x\in {ℝ}^{+},-1\ne \alpha \in ℝ)$
$\int \frac{1}{x}dx$	$=\ln |x|+c$	$(0\ne x\in ℝ)$
$\int e^{x}dx$	$=e^x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int a^{x}dx$	$=\frac{a^x}{\ln a}+c$	$(x\in ℝ,1\ne a\in {ℝ}^{+})$
$\int \sin xdx$	$=-\cos x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \cos xdx$	$=\sin x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$	$=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+c$	$(k\pi \ne x\in ℝ,k\in \mathbb{Z})$
$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$	$=\mathrm{t}\mathrm{g}x+c$	$(\frac{k\pi }{2}\ne x\in ℝ,k\in \mathbb{Z})$
$\int \mathrm{s}\mathrm{h}xdx$	$=\mathrm{c}\mathrm{h}x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \mathrm{c}\mathrm{h}xdx$	$=\mathrm{s}\mathrm{h}x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \frac{1}{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}x}dx$	$=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}x+c$	$(0\ne x\in ℝ)$
$\int \frac{1}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^{2}x}dx$	$=\mathrm{t}\mathrm{h}x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \frac{1}{1+x^2}dx$	$=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \frac{1}{1-x^2}dx$	$=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|+c$	$=\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}x+c(1>|x|\in ℝ)}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}x+c(1<|x|\in ℝ)}$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x+c$	$(1>|x|\in ℝ)$
$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$	$=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}x+c$	$(x\in ℝ)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$	$=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+c$	$=\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}x+c(1<x\in ℝ)}{-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(-x)+c(1>x\in ℝ)}$