Matematika/Deriválás/L'Hopital

A L’Hôpital-szabály egy jól használható módszere arra, hogy egy függvény határértékét kiszámítsuk, mikor a függvényműveletek ${}_{\frac{0}{0}}$ alakú határértékhez vezetnek, vagy végtelen per végtelen.

Az egyszerű L’Hôpital-szabály

Tétel – Egyszerű L’Hôpital-szabály – Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

$\underset{x\to u}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(u)}{g^{\prime }(u)}$

Ismételt „L’Hôpitálás”

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hôpital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén): $\underset{x\to u}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n+1)}(u)}{g^{(n+1)}(u)}$

Példa

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{\sin x}$

esetén $e^x-1=0$ és $\sin x=0$. Alkalmazzuk a L’Hôpital-szabályt:

$\begin{array}{ccc}\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{\sin x}& =\frac{(e^x-1{)}^{\prime }(0)}{(\sin x{)}^{\prime }(0)}& =\frac{e^0}{\cos 0}=\frac{1}{1}=1\end{array}$