Komplex analízis/Néhány elemi függvény

Elemi függvények

Hatványfüggvények

A

$w=z^n$

típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

$(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre $F^{\prime }(z)=z^n$ nem más, mint

$F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C$

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] $\to$ C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

$\underset{G}{\int }f(z)\mathrm{d}z{=}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{n}f(z_i)\cdot \mathrm{\Delta }{z}_i$

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt z_i mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z₁ és z₂ a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:

$F(z_2)-F(z_1)=\underset{G}{\int }f(z)\mathrm{d}z$

Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.

1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

$\underset{G}{\int }3z^2+1\mathrm{d}z$

integrált.

2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az

a) $\underset{G}{\int }\frac{1}{z^2}\mathrm{d}z$ és a b) $\underset{G}{\int }\frac{z+1}{z}\mathrm{d}z$

integrál.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény

$e^z{=}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

Ebből kiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

$e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y+i\sin y)$

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

$e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=e^z(1+0i)$

3. Feladat. Oldjuk meg az

$e^z=1+i$

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

$1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi }{4}}$

így

$z=\ln \sqrt{2}+i\frac{\pi }{4}+2\pi i$

4. Feladat. Oldjuk meg az

$e^{iz}+i{e}^{-4iz}=0$

egyenletet!

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Tekintsük a

$w=e^z$

hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:

$w=r{e}^{i\phi }=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$

azaz

$r=e^x$ és $\phi =y$

Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y₁ = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy₁ ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.

Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

$\underset{G_1}{\int }\frac{1}{z}\mathrm{d}x$

$\underset{G_2}{\int }\frac{1}{z}\mathrm{d}x$

ahol G₁ az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G₂ az egységkör a - irányban i-től -i-ig.

$\underset{i,(G_1)}{\overset{-i}{\int }}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(z){]}_i^{-}i=\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^{i\frac{3}{2}\pi })-\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^{\frac{1}{2}\pi })=i\pi$

ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg

$\underset{i,(G_2)}{\overset{-i}{\int }}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(z){]}_i^{-}i=\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^{-i\frac{1}{2}\pi })-\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(e^{\frac{1}{2}\pi })=-i\pi$

mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.

Más számítással:

$\underset{i,(G_1)}{\overset{-i}{\int }}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\underset{t=\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}\frac{1}{z(t)}\cdot \frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=\underset{t=\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}{e}^{-it}i{e}^{it}\mathrm{d}t=[it{]}_{t=\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}$

Trigonometrikus függvények

$\sin z{=}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos z{=}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}$

Világos, hogy valós φ-re:

$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\sin (\phi )$

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll

${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1$

6. Feladat. Oldjuk meg az

$\sin 4z=0$

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

$\mathrm{s}\mathrm{h}z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$

$\mathrm{c}\mathrm{h}z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k}}{(2k)!}$

7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Mo.

$\mathrm{s}\mathrm{h}iz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}$

8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki

$\underset{(G)}{\int }\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z$

$\underset{(G)}{\int }\frac{\sin (z)}{z^4}\mathrm{d}z$

Mo.

$\underset{(G)}{\int }\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z=2\pi i$

$\underset{(G)}{\int }\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z=-\pi i$