Komplex analízis/Komplex numerikus sorozatok és sorok

Komplex numerikus sorozatok

Minthogy C ≡ R² (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||₂ euklideszi normával kapcsolatosak mind R²-ből ismertnek tekinthetők. Szinte említenünk sem kell, hogy a sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R²-ben:

$\begin{array}{c}(z_n)\in {𝐂}^{{𝐙}^{+}}\text{ konvergens }\\ \\ \Updownarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\\ \\ \mathrm{\exists }z\in 𝐂\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{+}\mathrm{\exists }N\in {𝐙}^{+}\mathrm{\forall }n\in {𝐙}^{+}(n>N\Rightarrow |z_n-z|<\epsilon )\end{array}$

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(z_n))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R²-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Állítás – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha (an) konvergens és (bn) konvergens. Ekkor lim(zn) = lim(an) + i$\cdot$lim(bn)

További jellegzetes tételek is következnek a C-beli sorozatokra vonatkozóan:

Tétel Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel – C-beli korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Heine–Borel-tétel – C-beli korlátos és zárt halmaz kompakt. Cauchy-kritérium – C teljes topologikus tér, azaz minden Cauchy-sorozat konvergens.

Itt a kompaktság jelenthet topologikus kompaktságot (minden nyílt lefedéséről kiválasztható véges részlefedés) és sorozatkompaktságot is (minden a halmazban haladó sorozatból kiválasztható halmazbeli határértékű konvergens részsorozat), mely utóbbi a B.–W.-tétel egy átfogalmazása.

Továbbá (z_n) Cauchy-sorozat, ha

$\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{+}\mathrm{\exists }N\in {𝐙}^{+}\mathrm{\forall }n,m\in {𝐙}^{+}(n,m>N\Rightarrow |z_n-z_m|<\epsilon )$

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat. abszolútérték: zn $\to$ 0 akkor és csak akkor, ha |zn| $\to$ 0 eltolás: zn $\to$ z akkor és csak akkor, ha (zn – z) $\to$ 0 "K $\cdot$ 0": ha (wn) korlátos és zn $\to$ 0, akkor (wn $\cdot$ zn) $\to$ 0 majoráns: ha (δn) $\to$ 0 valós és |zn| < δn, akkor zn $\to$ 0 hányadoskritérium: ha $lim\; sup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1$, akkor zn $\to$ 0 gyökkritérium: ha $lim\; sup\sqrt[n]{|z_n|}<1$, akkor zn $\to$ 0

Ezek közül a C-ben a legjellegzetesebb a "K $\cdot$ 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λ_n.z_n skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.

Végtelenhez tartó sorozatok

A (z_n) komplex numerikus sorozatról akkor mondjuk, hogy a végtelenhez tart, ha

$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }N\in {𝐙}^{+})(\mathrm{\forall }n\in {𝐙}^{+})(n>N\Rightarrow |z_n|>\frac{1}{\epsilon })$

Tehát egy sorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha az abszolút értéke tart a végtelenhez.

Műveletek és sorozathatárérték

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζ_n) komplex sorozat nem más, mint egy

$\zeta :{𝐙}^{+}\to 𝐂$

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=w\in \overline{𝐂}⟺\mathrm{\exists }\underset{\mathrm{\infty }}{lim}\zeta =w\in \overline{𝐂}$

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Átviteli elv

Az átviteli elv változatlanul érvényes C-ben is (minthogy az ebből a szempontból nem különbözik R²-től).

Tétel – Átviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A $\to$ C függvény, ahol A ⊆ C komplex részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, w ∈ C. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással: létezik az f-nek határértéke az u pontban és $\underset{z\to u}{lim}f(z)=w$ minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (zn) konvergens sorozat esetén az (f(zn)) függvényérték-sorozat konvergens és $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(z_n)=w$

Geometriai sorozat

Ha

$z_n=z^n$ ahol |z| < 1

akkor

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}^n=0$

Hiszen a gyökkritériummal adódik, hogy

$\sqrt[n]{|z_n|}=|z|<1$

azaz a nullához tart.

Feladatok

1.

${\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)}^n\to ?$

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

Megoldás

${\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)}^n={\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)}^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}$

2.

$\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?$

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

Megoldás

$\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

ugyanis

$1\leftarrow {\sqrt[n]{n}}^3=\sqrt[n]{n^3}\le \sqrt[n]{n^3+2n}\le \sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}{n}^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}{\sqrt[n]{n}}^3\to 1$

3.

$\frac{n!}{n^n}{i}^n\to ?$

(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

Megoldás

$\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}{i}^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}{i}^n\right|}=\frac{n+1}{{(1+\frac{1}{n})}^n\cdot (n+1)}\to \frac{1}{e}<1$

azaz 0-hoz tart-

4.

$\frac{1}{{(1+\frac{i}{n})}^{n^4}}\to ?$

(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó gyökkritériumot.)

Megoldás

$\sqrt[n]{{|1+\frac{i}{n}|}^{n^4}}={|1+\frac{i}{n}|}^{n^3}={\left(\sqrt{{(1+\frac{1}{n^2})}^{n^2}}\right)}^n\ge 2^n\to +\mathrm{\infty }$

Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.

5.

${\left(\frac{n+i}{n}\right)}^n\to ?$

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

Megoldás

${\left(\frac{n+i}{n}\right)}^n={\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}^n\cdot (\cos \left(n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin \left(n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{1}{n}\right)\right))\to$

$\to \cos 1+i\sin 1$

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.

Komplex numerikus sorok

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (z_n) sorozat

$s_n=\sum _{k=1}^n{z}_k$

részletösszegeinek (s_n) sorozatát a (z_n) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(z_n)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(z_n) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (z_n) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$

szimbólummal jelöljük.

Komponensek

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

$\sum (z_n)=\sum (x_n+i{y}_n)$

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

$\sum (z_n)=\sum (x_n)+i\sum (y_n)$

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciára

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor $\sum _{(0)}(z^n)$ konvergens és az összege: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n=\frac{1}{1-z}$ Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium). p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a $(\sum _1\frac{1}{n^p})$ valós sor konvergens. Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a $(\sum _1\frac{1}{n^p})$ valós sor divergens. Hányadoskritérium: ha $lim\; sup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1$, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens Gyökkritérium: ha $lim\; sup\sqrt[n]{|z_n|}<1$, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limimf" > 1, akkor divergens.

Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.