Komplex analízis/Komplex hatványsorok

Komplex hatványsorok

Definíció – Hatványsor – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor az ∑(an(idC-z0)n) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az $z\mapsto \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ hozzárendelési utasítással értelmezett, a {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együttható-sorozata (an).

A továbbiakban csak a ∑(a_nzⁿ) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, $c=\underset{n}{lim\; sup}\sqrt[n]{|a_n|}$ és $R=\{\begin{array}{ccc}0,& \mathrm{h}\mathrm{a}& c=+\mathrm{\infty }\\ +\mathrm{\infty },& \mathrm{h}\mathrm{a}& c=0\\ \frac{1}{c},& \mathrm{h}\mathrm{a}& 0<c<+\mathrm{\infty }\end{array}$ akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.

A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}={}^{″}\frac{1}{R}{}^{″}$

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.

1. Feladat. Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?

1. $\sum ((2i{)}^n{n}^3(z-i{)}^n)$
2. $\sum (\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i{)}^n)$
3. $\sum \left(\frac{i{n}^{2008}}{n!}{z}^n\right)$

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

Megoldás

${\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)}^n={\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)}^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}$

Analitikusnak nevezünk egy f komplex függvényt, a z₀ pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) hatványsor, hogy minden z ∈ B_δ(z₀)-ra f értelmezett, ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) konvergens és

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

Ezt úgy jelöljük, hogy f ∈ C^ω(z₀).

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ C^ω(z₀) akkor és csak akkor, ha f ∈ Reg(z₀).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z+\mathrm{\Delta }z{)}^n-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n((z+\mathrm{\Delta }z{)}^n-z^n)=$

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

$=\mathrm{\Delta }z\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=0}^{n-1}\mathrm{\Delta }{z}^k{z}^{n-1-k}$

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

$\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z+\mathrm{\Delta }z{)}^n-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n}{\mathrm{\Delta }z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=0}^{n-1}\mathrm{\Delta }{z}^k{z}^{n-1-k}$

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

$\left|a_n\sum _{k=0}^{n-1}\mathrm{\Delta }{z}^k{z}^{n-1-k}\right|\le |a_n|\cdot n{r}^n$

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugara). És

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n{r}^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1\cdot r\le \frac{1}{R}r<1$

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑_n|a_n|nrⁿ):=δ

$|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z+\mathrm{\Delta }z{)}^n-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n|\le |\mathrm{\Delta }z|\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|n{r}^n<\epsilon .$

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

${\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{z}^{n-1}$