1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/3. feladat

2. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

4. feladat

Ezt a problémát Magyarország javasolta.

A feladat:

Tudjuk, hogy

$a{\cos }^2(x)+b\cos (x)+c=0$

Mutassunk másodfokú egyenletet $\cos 2x$-re úgy, hogy együtthatói csak az $a,b,c$ számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be $a=4$, $b=2$ és $c=-1$-et.

Megoldás

Ismert, hogy ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, és így ennek az egyenletnek a négyzete is áll: ${\cos }^{4}x=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}x}{4}$. Most nézzük az eredeti egyenletünket. Egy olyan egyenletet akarunk belőle alkotni, amiben csak ${\cos }^{4}x$-es, ${\cos }^{2}x$-es, valamint konstans tagok szerepelnek. Ehhez rendezzük át a következő módon: $b\cos x=-a{\cos }^{2}x-c$, majd pedig emeljük négyzetre: $b^2{\cos }^{2}x=a^2{\cos }^{4}x+ac{\cos }^{2}x+c^2$. Most behelyettesítve ${\cos }^{4}x$ és ${\cos }^{2}x$ helyére, s a kövekezőt kapjuk: $a^2\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}+(2ac-b^2)\frac{1+\cos 2x}{2}+c^2=0$. Azaz ezt rendezve kapjuk, hogy $\frac{a^2}{4}{\cos }^{2}2x+\frac{a^2+2ac-b^2}{2}\cos 2x+\frac{a^2+4ac-2b^2+4c^2}{4}=0$, ami a feladat feltételeinek megfelelő másodfokú egyenlet, s következik az eredetiből. Most behelyettesítve a megadott értékeket a következő egyenletet kapjuk: $4{\cos }^{2}2x+2\cos 2x-1=0$. Azaz ugyanazt a másodfokú egyenletet kaptuk vissza, mint a helyettesítés előtt ($4{\cos }^{2}x+2\cos x-1=0$), csak épp az ismeretlen $\cos x$ helyett $\cos 2x$ lett.

Források

2. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

4. feladat