1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/2. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

Ezt a problémát Románia javasolta kitűzésre.^[1]

A feladat:

Milyen $x$ valós számra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

a)

\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}} = \sqrt{2}

b)

\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}} = 1

c)

\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}} = 2

Megoldás

A $\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}} = a$ egyenlet megoldásához először is emeljük négyzetre mindkét oldalt. (Ez ekvivalens átalakítás, mivel mindkettő pozitív.) Ebből rendezés után a következőt kapjuk: $2 x + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} = a^{2}$ . A gyök alatt $(x - 1)^{2}$ , található, aminek gyöke (attól függően, hogy melyik pozitív) $x - 1$ vagy $1 - x$ . Tegyük fel, hogy $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ ( $x$ legalább $\frac{1}{2}$ , mivel különben nem lenne értelme a $\sqrt{2 x - 1}$ -nek). Ekkor az egyenlet: $2 x + 2 - 2 x = 2 = a^{2}$ , azaz $a = \sqrt{2}$ . Ha $x > 1$ , akkor az egyenlet: $2 < 4 x - 2 = a^{2}$ . Tehát $a > \sqrt{2}$ , így az $a)$ egyenletet pontosan az $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ értékek elégítik ki, a $b)$ egyenletnek viszont egyik esetben sem lesz megoldása, vagyis nincs annak megfelelő $x$ . Még meg kell találnunk a harmadik egyenlet gyökét, azaz amikor $a = 2$ . Ekkor $4 x - 2 = 4$ , vagyis $4 x = 6$ , tehát $x = \frac{3}{2}$ . Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez jó megoldás, a bizonyítást befejeztük.