Matematika/Deriválás/L'Hopital forrásának megtekintése

A L’Hôpital-szabály egy jól használható módszere arra, hogy egy függvény határértékét kiszámítsuk, mikor a függvényműveletek <math>\mbox{ }_{\frac{0}{0}}</math> alakú határértékhez vezetnek, vagy végtelen per végtelen.

==Az egyszerű L’Hôpital-szabály==

'''Tétel''' – ''Egyszerű L’Hôpital-szabály'' – Legyen ''f'' és ''g'' olyan valós-valós függvény és ''u'' olyan pont, hogy ''f'' és ''g'' differenciálható ''u''-ban, de g'(u) nem 0. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke ''u''-ban és
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}</math>


===Ismételt „L’Hôpitálás”===
Előfordulhat, hogy ''u''-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hôpital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például ''f'' és ''g'' n+1-szer differenciálható ''u''-ban, de egészen az ''n''-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):
<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n+1)}(u)}{g^{(n+1)}(u)}</math>

==Példa==

:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}</math>
esetén <math>e^x-1 = 0</math> és <math>{\sin x} = 0 </math>.
Alkalmazzuk a L’Hôpital-szabályt:
: <math>
\begin{align}
\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x} &= \frac{(e^x-1)'(0)}{(\sin x)'(0)} 
&= \frac{e^0}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1
\end{align}
</math>