Matematika/Deriválás/Szabályok

• Állandó függvény deriválása: ha f(x) állandó, akkor

$f^{\prime }(x)=0$

• A deriválás lineáris:

$(af(x)+bg(x){)}^{\prime }=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)$ bármely f és g függvényre és bármely a és b valós számra.

Speciális esetek:

• szorzás állandóval

$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$

• összeadás

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

• kivonás

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$

• függvények szorzatának deriválása:

$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ bármely f és g függvényre.

• függvények hányadosának deriválása:

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$ bármely f és g függvényre, ahol g ≠ 0.

• összetett függvény deriválása:

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$.

Elemi függvények deriváltjai

• hatványok deriváltjai: ha $f(x)=x^r$, bármely (nem zéró) r valós számra, akkor

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1},$ ahol ez a függvény értelmezett.

Példa: ha r = 1/2, akkor f'(x) = (1/2)x^−1/2 csak nem negatív x -szel értelmezett. Ha r = 0, az állandó függvény deriválási szabálya alkalmazható.

• exponenciális és logaritmus függvények:

$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}ln(a).$

$(e^x{)}^{\prime }=e^x.$

$l{n}^{\prime }(x)=1/x.$

$(f(x{)}^{g(x)}{)}^{\prime }=g(x)f(x{)}^{g(x)-1}{f}^{\prime }(x)+f(x{)}^{g(x)}lnf(x)g^{\prime }(x).$

• trigonometriai függvények:

${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x).$

${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x).$

${\tan }^{\prime }(x)=1/co{s}^2(x).$

Példa

$f(x)=x^4+\sin (x^2)-\ln (x)e^x+7$

deriváltja

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =4x^{(4-1)}+(x^2{)}^{\prime }\cos (x^2)-(\ln x{)}^{\prime }{e}^x-\ln x(e^x{)}^{\prime }+0\\ & =4x^3+2x\cos (x^2)-\frac{1}{x}{e}^x-\ln (x)e^x.\end{array}$

Itt a második tag deriváltját az összetett függvények deriválási szabályával számítottuk ki, a harmadik tagot pedig a függvények szorzatának deriválási szabályával: a következő elemi függvények ismert deriváltjait is felhasználtuk: x², x⁴, sin(x), ln(x) és exp(x) = e^x.