Matematika/Mátrix/Inverz

Egy n-szer n-es A mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha létezik egy olyan B mátrix, melyre igaz: AB = I_n ( = BA). Ebben az esetben a B mátrix az A mátrix inverz mátrixa és A⁻¹-al jelölik.

Invertálható mátrixok tulajdonságai

Egy $A$ n × n mátrixra a következő kijelentések egyenértékűek:

• $A$ invertálható.
• det $A$ ≠ 0.
• rang $A$ = n.
• Az $Ax=0$ egyenletnek csak a triviális megoldása létezik: $x=0$
• Létezik egy $B$ n × n mátrix ú.h. $AB=I_n$.
• $A^T$ invertálható.
• $A^T\times A$ invertálható.

Egy $A$ invertálható mátrix inverze is invertálható,

${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$.

Két azonos méretű $A$ és $B$ invertálható mátrix szorzatának inverze is invertálható, és fennáll a következő egyenlőség:

${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

(a faktorok sorrendje felcserélődik)

Számítás

Egy mátrix inverzét a következő módon lehet kiszámolni:

$A^{-1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|}{\left(C_{ij}\right)}^T=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|}\left(C_{ji}\right)=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|}\left(\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{j1}\\ C_{12}& \ddots & & C_{j2}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ C_{1i}& \cdots & \cdots & C_{ji}\end{array}\right)$

Ahol:

• |A| az A mátrix determinánsa
• C_ij az A mínusz az i-edik sor és a j-edik oszlop által képzett mátrix determinánsa megszorozva (-1)^i+j -nel
• A^T a mátrix transzponáltja (A^T_ij = A_ji).

Példa

TODO^^