Matematika/Mátrix/Műveletek

Műveletek mátrixokkal

Összeadás

Legyen A és B két m-szer n méretű mátrix, A + B összegük úgy képződik, hogy a megfelelő elemeket összegezzük (vagyis (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Például:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 3+0& 2+5\\ 1+7& 0+5& 0+0\\ 1+2& 2+1& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 8& 5& 0\\ 3& 3& 3\end{array}\right]$

Skalárral való szorzás

Adott az A mátrix egy c skalárral való cA szorzatát úgy számítjuk, hogy a c számmal A minden elemét megszorozzuk (vagyis (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Például:

$2\left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 8& 2\cdot (-3)\\ 2\cdot 4& 2\cdot (-2)& 2\cdot 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$

Mátrixszorzás

Két mátrix szorzata akkor definiált, ha a baloldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak számával. Ha A egy m-szer n mátrix és B egy n-szer p mátrix, mátrixszorzatuk egy m-szer p méretű (m sorból, p oszlopból álló)AB mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:

$(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]$

minden i-re és j-re.

Például:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)& (1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\ ((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)& ((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right],$

illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:

$\begin{array}{cc}& \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]\end{array},$

ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

A mátrixszorzatnak a következő tulajdonságai vannak:

• (AB)C = A(BC) minden k-szor m méretű A mátrixra, m-szer n méretű B mátrixra és n-szer p méretű C mátrixra ("asszociativitás").
• (A + B)C = AC + BC minden m-szer n méretű A és B mátrixra valamint n-szer k méretű C mátrixra ("jobboldali disztributivitás").
• C(A + B) = CA + CB minden m-szer n méretű A és B valamint k-szor m méretű C mátrixra ("baloldali disztributivitás").

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában nem teljesül; vagyis adott A és B összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy AB ≠ BA.