Numerikus sorozatok/Sűrűsödési pont és kiválasztási tételek forrásának megtekintése

==Sűrűsödési pont==
===Definíciók=== 

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|1. Az ''u'' valós szám '''nyílt gömbi környezet'''én olyan (''u'' - &epsilon;,''u'' + &epsilon;) nyílt intervallumot értünk, ahol &epsilon; pozitív szám.
|-
|}

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|2. Azt mondjuk, hogy az &Omega; &sube; '''R''' halmaz '''nyílt''', ha minden pontjával együtt a pontnak egy nyílt gömbi környezete is benne van &Omega;-ban.
|-
|}
:''Megjegyzés.'' A nyílt intervallumok tehát nyíltak, de nyílt az összes valós számok halmaza is. Nem nyílt halmaz a racionális számok halmaza, hiszen bármely két racionális szám között van irracionális szám is, így nincs '''Q'''-ban egy csupa racionálisokból álló valós nyílt intervallum. 
{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|3. Azt mondjuk, hogy egy (''a''<sub>n</sub>) sorozatnak '''sűrűsödési pont'''ja vagy helye az ''u'' szám, ha az ''u'' minden nyílt környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik.
:3.1. A felülről nem korlátos (''a''<sub>n</sub>) sorozat '''általános értelemben vett sűrűsödési hely'''ének tekintjük a +&infin; szimbólumot.
:3.2. Az alulról nem korlátos (''a''<sub>n</sub>)  sorozat ''' általános értelemben vett sűrűsödési hely'''ének tekintjük a -&infin; szimbólumot.
|-
|}

====Példák====
<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''1.''' Igazoljuk, hogy az
:<math>(a_n)=\left(\;\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot ((-1)^n+1)\;\right)</math>
sorozatnak pontosan két sűrűsödési helye van, a 0 és a 2.

''(Útmutatás: Sejtsük meg (például grafikus úton) a sűrűsödési helyeket és igazoljuk azok tényleges sűrűsödési hely voltát definíció szerint.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
Az (''a''<sub>n</sub>) sorozat általános tagja a következőkkel egyenlő:
:<math>a_n=\left\{
\begin{array}{cl}
2+\cfrac{2}{n} , & \mbox{ ha } n \mbox{ ps, }\\
0, & \mbox{ ha } n \mbox{ pn}
\end{array}
\right.</math>
Azaz a párosokra 2+2/n, a páratlanokra 0. Belátjuk, hogy a 2 szám sűrűsödési pontja. Legyen &epsilon; > 0. 
:<math>\inf\left(\frac{1}{n}\right)=0</math>,
tehát az &epsilon; / 2  számhoz létezik ''N'', hogy 
:<math>\frac{1}{N}<\varepsilon/2</math>, 
de egy ''N''-nél nagyobb ''M'' páros számra méginkább teljesül ez, így :<math>\frac{2}{M}<\varepsilon</math>.
Világos, hogy 
:<math>2-\varepsilon<2<2+\frac{2}{M}<2+\varepsilon</math>
és ez az egyenlőtlenség minden az ''M''-nél nagyobb páros számra is igaz, azaz (2 - &epsilon;, 2 + &epsilon;)-ban végtelen sok sorozatbeli elem van. Minden páratlan indexű tag a 0 értéket veszi fel:  <math>\scriptstyle{-\varepsilon<a_{2n+1}<+\varepsilon}</math>, azaz 0 sűrűsödési hely. 

Belátjuk, hogy ha ''u'' nem 0 és nem 2, akkor ''u'' nem sűrűsödési pont. Ha ''u'' < 0, akkor az ''u'' szám |''u''| / 2 sugarú környezete diszjunkt a sorozattól. Ha  0 < ''u'' < 2, akkor van olyan &epsilon; > 0, hogy ennél az értéknél ''u'' távolabb van mind a 0-tól mind 2-től. Az ilyen sugarú környezete ''u''-nak szintén diszjunkt a sorozattól. Végül, ha ''u'' > 2, akkor az ''u''-nak |''u'' - 2| / 2 sugarú környezetében csak véges tagja van (2 + 2/''n'')-nek, tekintve, hogy ez a sorozat monoton csökkenő.
</div></div>
</div>
<!--
Az első szakaszbeli példáknál a $(h_n)$ sorozat torlódási pontja a $-1$ és az 1, tehát két helyen is sűrűsödik. Az $(g_n)$ sorozatnak szigorú értelemben nincs torlódási pontja, de általánosított értelemben a $+\infty$ sűrűsödési pont, hiszen $\sup(n)=+\infty$. A $(q_n)$ sorozat egyetlen sűrűsödési helye a 0 (ez biztos az, hiszen $\inf(\frac{1}{n})=0$ és az infimum jellemzéséből pontosan ez derül ki). Az $(r_n)$ sorozat szintén sűrűsödik a 0-ban, de van egy általánosított értelemben vett sűrűsödési helye is, a $+\infty$. A $(t_n)$ sorozatnak három sűrűsödési helye van: $-1$, $0$ és $1$.-->

==Korlátos sorozatok sűrűsödési helyei, Bolzano–Weierstrass-tétel==
Nem korlátos sorozatnak (definíció szerint) van sűrűsödési helye, hiszen a +&infin; és  -&infin; szimbólumokat általános értelemben vett sűrűsödési helynek gondoljuk.  Van-e azonban a korlátos sorozatoknak sűrűsödési helye? A szemlélet azt mondatja velünk, hogy igen sőt, azt be is tudjuk majd bizonyítani.

'''Megjegyzés''' – ''Gondolatkísérlet'' – Képzeljük el a fenti szituációt és próbáljuk elkerülni, hogy a korlátos sorozat esetén sűrűsödési pontot találjunk. Vegyünk egy zárt intervallumot és – kikerülendő, hogy sűrűsödési helyhez jussunk – pötyögtessük le a végtelen sok elemet egymástól lehetőleg egyenletes távolságban (persze ezek a távolságok mind kisebbek és kisebbek lesznek). Ekkor a sorozat az intervallumnak egy olyan megszámlálhatóan végtelen részhalmazát fogja alkotni, ami a racionális számokhoz lesz hasonló: minden tetszőlegesen kis intervallumban találunk sorozatbeli elemet. Ez viszont azt jelenti, hogy minden szám sűrűsödési pontja lesz a sorozatnak – éppen ellenkezőképpen, mint ahogy azt szerettük volna. 

===Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel (első alak)=== 

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Tétel''' – ''Bolzano–Weierstrass-tétel sűrűsödési ponttal megfogalmazva'' – Minden korlátos sorozatnak van sűrűsödési pontja.
|-
|}

'''Bizonyítás.''' Legyen (''x''<sub>n</sub>) valós számsorozat, melyről tegyük fel, hogy  korlátos. 

(1) Az [[Numerikus sorozatok/Korlát és határ#Intervallumfelezés|intervallumfelezéses eljárást]] alkalmazzuk, éspedig a következő módon definiált intervallumrendszerre:
  
# legyen ''b''<sub>1</sub> az egyik felső korlátja, és ''a''<sub>1</sub> az egyik alsó korlátja; 
#: Osszuk a zárt és korlátos  [''a''<sub>1</sub>;''b''<sub>1</sub>] intervallumot két egyenlő részre. Biztos, hogy az egyikben az (''x''<sub>n</sub>) sorozatnak végtelen sok tagja van, ha ugyanis mindkettőben csak véges sok tag lenne, akkor a sorozat is véges lenne.
#Válasszuk most már az [''a''<sub>2</sub>;''b''<sub>2</sub>]-nek a kettő közül azt – vagy olyat –, amelyben a sorozatnak végtelen sok tagja van.
#Folytassuk ezt az eljárást [''a''<sub>2</sub>;''b''<sub>2</sub>]-re, majd az ebből adódó [''a''<sub>3</sub>;''b''<sub>3</sub>]-ra, ... [''a''<sub>n</sub>;''b''<sub>n</sub>]-re, ...

Ekkor a konstrukció egy ( [''a''<sub>n</sub>;''b''<sub>n</sub>] ) egymásba skatulyázott intervallumrendszert ad, melynek – minhogy az intervallumok hossza feleződik – egyetlen közös pontja van.  

(2) Legyen ''u'' az  [''a''<sub>n</sub>;''b''<sub>n</sub>]-ek közös pontja. Állítjuk, hogy ''u'' sűrűsödési pontja (''x''<sub>n</sub>)-nek, azaz ''u'' tetszőleges &epsilon; > 0 sugarú nyílt környezetében az (''x''<sub>n</sub>)-nek végtelen sok tagja van. Ehhez először belátjuk, hogy van olyan ''N'' természetes szám, hogy <math>\scriptstyle{[a_N,b_N]\subseteq(u-\varepsilon,u+\varepsilon)}</math>. 

(a) ''u'' [[Numerikus sorozatok/Korlát és határ#Felsőhatár axióma, határok jellemzése|felső határa]] (''a''<sub>n</sub>)-nek ugyanis egyrészt felső korlátja, hiszen minden intervallumnak része, így az intervallumok alsó végpontjánál nem kisebb. Másrészt tetszőleges &epsilon; > 0-ra ''u'' - &epsilon; nem felső korlátja (''a''<sub>n</sub>)-nek, ugyanis ha az lenne, akkor az [''u'' - &epsilon;, ''u''] intervallum minden ''a''<sub>n</sub>-nél nem kisebb lenne, így sérülne az a tény, hogy csak egy közös pont van. Ugyanilyen módon következik, hogy ''u'' alsó határa (''b''<sub>n</sub>)-nek. 

(b) Így tehát tetszőleges &epsilon; > 0-ra ''u'' - &epsilon; nem felső korlátja (''a''<sub>n</sub>)-nek és ''u'' + &epsilon; nem alsó korlátja (''b''<sub>n</sub>)-nek. Van tehát olyan ''N''<sub>1</sub> és ''N''<sub>2</sub>, hogy ''u'' - &epsilon; < ''a''<sub><math>N_1</math></sub> és ''b''<sub><math>N_2</math></sub> < ''u'' + &epsilon;. Ha ''N'' az ''N''<sub>1</sub> és ''N''<sub>2</sub> közül a nem kisebb, akkor  <math>\scriptstyle{[a_N,b_N]\subseteq(u-\varepsilon,u+\varepsilon)}</math>. 

Végül tudjuk, minden [''a''<sub>n</sub>;''b''<sub>n</sub>] intervallumban, így az [''a''<sub>N</sub>;''b''<sub>N</sub>]-ben is az (''x''<sub>n</sub>) sorozatból végtelen sok tag esik, amiből következik, hogy az [''a''<sub>N</sub>;''b''<sub>N</sub>]-t lefedő (''u'' - &epsilon;,''u'' + &epsilon;) intervallumban is végtelen sok tag szerepel  (''x''<sub>n</sub>)-ból. Amely pont az, amit bizonyítani akartunk.

====Legkisebb és legnagyobb sűrűsödési hely====
Megjegyezzük, hogy módosítható úgy a fenti bizonyítás, hogy a konstrukció az ''u'' számra a (''x''<sub>n</sub>) legkisebb értékű vagy a legnagyobb értékű sűrűsödési helyét adja. Ha ugyanis az intervallumfelezésnél mindig az alsóbbik olyan intervallumot választjuk, melyben végtelen sok sorozatbeli elem van, akkor a közös pont a legkisebb értékű sűrűsödési hely lesz. Ha pedig minduntalan a felsőbbik végtelen számú sorozatbeli elemet tartalmazó intervallumot választjuk, akkor a legnagyobb értékű sűrűsödési helyhez jutunk.

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|Az (''x''<sub>n</sub>) sorozat sűrűsödési helyei közül a legkisebbet (ha van)
:<math>\mathrm{liminf}(x_n)\,</math>  
jelöli és az (''x''<sub>n</sub>) limesz inferiorjának, vagy '''alsó határérték'''ének nevezzük. Ha nincs legkisebb, akkor ezen a -&infin;
szimbólumot értjük.
|-
|}


{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|Az (''x''<sub>n</sub>) sorozat sűrűsödési helyei közül a legnagyobbat (ha van)
:<math>\mathrm{limsup}(x_n)\,</math>  
jelöli és az (''x''<sub>n</sub>) limesz szuperiorjának, vagy '''felső határérték'''ének nevezzük. Ha nincs legnagyobb, akkor ezen a +&infin;
szimbólumot értjük.
|-
|}

==Borel–Lebesgue-féle befedési tétel==
A következő tétel látszólag kevés hasonlóságot mutat az előzővel, de mégis nagyon szoros kapcsolatban vannak egymással. Mindkét tétel az analízis fundamentális jelentősségű tétele. Ne ijedjünk meg attól, hogy a tétel szövege is furcsán idegen módon hangzik a sorozatok témakörében és a bizonyítás is inkább geometriai vagy topológiai jellegű.

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Tétel''' – ''Borel–Lebesgue befedési tétel'' –  Ha a korlátos és zárt [ ''a'', ''b'' ] intervallumot lefedi egy nyílt halmazokból álló halmazrendszer, akkor ennek a halmazrendszernek már véges sok tagja is lefedi.
|-
|}

'''Magyarázat.''' Egy [''a'',''b''] zárt és korlátos intervallum esetén, lefedésre példa az, ha az intervallum minden egyes ''x'' pontját rendre befoglaljuk egy <math>I_x</math> nyílt intervallumba, például adott &epsilon; pozitív számra az (''x'' - &epsilon;, ''x'' + &epsilon;) intervallumba. Ezeknek a nyílt intervallumoknak (<math>I_x</math>)<sub>''x'' &isin; [''a'',''b'']</sub> rendszere egy úgy nevezett nyílt befedése [''a'',''b'']-nek, mely kontinuum számosságú sok tagból áll (intervallumnyi halmazt tartalmaz),  ám ennek ellenére a Borel–Lebesgue-tétel szerint ezek közül már nem csak végtelen, de ráadásul ''véges'' sok halmaz is befedi [''a'',''b'']-t. Ez egy elég meglepő és páratlanul erős eredmény, bár az is igaz, hogy csak ''korlátos és zárt'' intervallumokra teljesül.

'''Megjegyzés.''' Furcsa, hogy míg a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel könnyen átlátható és intuitív, addig a Borel–Lebesgue-tétel kevésbé az, vagy egyáltalán nem követhető a szemlélet számára. Ennek az egyik lehetséges indoka az, hogy a Borel–Lebesgue-tétel bizonyításában egy nagyon nem természetes, mindamellett alapvető matematikai axiómát, a ''kiválasztási axiómát'' kell használnunk (ezzel már találkozhattunk a [[Numerikus sorozatok/Rekurzív sorozatok#Kiválasztással kombinált rekurzió|rekurzív megadású sorozatok témakörében]]). A  Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel bizonyításához erre nincs szükségünk, még később, a részsorozatokkal megfogalmazott alakjának bizonyításánál sem, pedig ott valóban egy speciális tulajdonságú függvény kiválaszthatóságát fogjuk belátni.

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Tétel''' – ''A két kiválasztási tétel ekvivalenciája'' – A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel és a Borel–Lebesgue befedési tétel ekvivalensek egymással.
|-
|}

:Következésképpen:

:'''Korollárium''' –  A Borel–Lebesgue befedési tétel igaz.

''' Bizonyítás. '''

(1) Tegyük fel a Borel–Lebesgue befedési tétel állítását, és igazoljuk belőle a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételt. Ha az előző bizonyításban indirekten okoskodtunk volna, akkor ezt kaptuk volna. Tegyük fel, hogy az első intervallumnak (mely lefedi a sorozatot), tehát  [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>]-nek egyetlen eleme sem sűrűsödési pontja (x<sub>n</sub>)-nek. Ekkor minden [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>]-beli pont körül van olyan nyílt intervallum, melyben az  (x<sub>n</sub>)-ből csak  ''véges'' sok tag tartózkodik. Ezek a nyílt halmazok befedik az [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>]-et, így – hivatkozva a befedési tételre – ezek közül már véges sok is lefedi [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>]-et. Ekkor viszont az [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>]-ben összesen is csak véges tag van (x<sub>n</sub>)-ből, ami ellentmond annak, hogy az (x<sub>n</sub>) végtelen sorozat és a tagjai teljes egészében az [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>]-ben vannak.
:''Megjegyzés.'' Világos, hogy ez a gondolatmenet alkalmas a B–W-tétel egyszerű bizonyítására, természetesen feltételezve, hogy a B–L-tétel igaz.

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Japan road sign 206-R.svg|30px| ]]
</div>
(2) Tegyük fel a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel állítását, és igazoljuk belőle a befedési tételt. Vegyünk egy korlátos és zárt [''a'',''b''] intervallumot befedő, nyílt halmazokból álló halmazrendszert. 

(a) Először ezek közül választunk ki megszámlálható sokat, melyek még mindig lefedik [''a'',''b'']-t, abból a célból, hogy egyáltalán sorozatokról tudjunk beszélni. 
Tekintsük az összes ''q'' racionális számra és ''p'' pozitív racionális számra a ''q'' középpontú és ''p'' sugarú nyílt környezetet. Ezek megszámlálhatóan sokan vannak. Adott ''x'' &isin; [''a'',''b'']-re válasszunk ki egy olyan &Omega;<sub>''x''</sub> nyílt halmazt az [''a'',''b'']-t lefedő rendszer elemei közül, mely ''x''-et fedi le. ''x'' belső pontja &Omega;<sub>''x''</sub>-nek, így van olyan ''r'' > 0, hogy    
(''x'' - ''r'',''x'' + ''r'') &sube;&Omega;<sub>''x''</sub>. Minden nemüres nyílt számközben van racionális szám, így az (''x'',''x'' + ''r''/3) számközben is, legyen egy ilyen a ''q''. Válasszuk ''p''-nek az (''r''/3,''r''/2) intervallumban lévő valamely racionális számot. Ekkor fennáll:
:<math>x-r<q-r/2<q-p<q-r/3<x<q+p<x+r/3+r/6\leq x+r/2<x+r\,</math> 
vagyis
:<math>x\in(q-p,q+p)\subseteq(x-r,x+r)\subseteq \Omega_x\,</math>
Minden ''x''-hez rendeljünk hozzá egy ilyen (''q'' - ''p'',''q'' + ''p'') intervallumot, ezek megszámlálható sokan vannak és lefedik [''a'',''b'']-t. Minden (''q'' - ''p'',''q'' + ''p'')-t tehát tartalmaz egy &Omega; az [''a'',''b'']-t lefedő rendszerből, vegyünk egy ilyet és jelöljük &Omega;<sub>(p,q)</sub>-val. Tehát az &Omega;<sub>(p,q)</sub>-k lefedik [''a'',''b'']-t és megszámlálható sokan vannak.

(b) Az [''a'',''b'']-t lefedő rendszerből tehát kiválasztható megszámlálható részlefedés, legyen ez <math>\scriptstyle{(\Omega_i)_{i=1}^{\infty}}</math>. Venni fogunk egy (''x''<sub>n</sub>) sorozatot rekurzív módon, mely pontosabban fogalmazva egy olyan sorozat létezését állítjuk, melyet a [[Numerikus sorozatok/Rekurzív sorozatok#Kiválasztással kombinált rekurzió|kiválasztási axiómával kombinált rekurzió elve biztosít]]. Ha  &Omega;<sub>1</sub> lefedi [''a'',''b'']-t, akkor megtaláltuk a véges lefedést. Ha &Omega;<sub>1</sub> nem fedi le [''a'',''b'']-t, legyen 
:<math>x_1\in [a,b]\setminus \Omega_1\,</math>.
Ha (&Omega;<sub>1</sub>,&Omega;<sub>2</sub>) már lefedi [''a'',''b'']-t, akkor szintén megtaláltuk a véges fedést. Ha nem, legyen 
:<math>x_2\in [a,b]\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2)\,</math>.
Azt állítjuk, hogy így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy <math>\scriptstyle{(\Omega_i)_{i=1}^{n}}</math> már lefedi [''a'',''b'']-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, [''a'',''b'']-ben haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne ''u'' &isin; [''a'',''b''] sűrűsödési pontja. Mivel <math>\scriptstyle{(\Omega_i)_{i=1}^{\infty}}</math> a konstrukció miatt lefedi [''a'',''b'']-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy &Omega;<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van &Omega;<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. Ez azonban ellentmond annak, hogy minden ''n''-re <math>\cup_{i=1}^{n}\Omega_i</math>-ben csak véges sok tag lehet (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint, holott már &Omega;<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van. 

:''Megjegyzés.'' Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér, bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát <math>\scriptstyle{(\Omega_i)_{i=1}^{n}}</math> sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon.

[[Kategória:Numerikus sorozatok]]