Matematika/Mátrix/Műveletek forrásának megtekintése

== Műveletek mátrixokkal ==

=== Összeadás ===
Legyen ''A'' és ''B'' két ''m''-szer ''n'' méretű mátrix, ''A + B'' összegük úgy képződik, hogy a megfelelő elemeket összegezzük (vagyis (''A + B'')[''i, j''] = ''A''[''i, j''] + ''B''[''i,&nbsp;j''] ).  Például:

: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>

=== Skalárral való szorzás ===
Adott az ''A'' mátrix  egy ''c'' skalárral való ''cA'' szorzatát úgy számítjuk, hogy a ''c'' számmal ''A'' minden elemét megszorozzuk (vagyis (''cA'')[''i'', ''j''] = ''cA''[''i'', ''j''] ). Például:

: <math>2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\
    2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}
</math>

=== Mátrixszorzás ===
Két mátrix szorzata akkor definiált, ha a baloldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak számával. Ha ''A'' egy ''m''-szer ''n'' mátrix és ''B'' egy ''n''-szer ''p'' mátrix, '''mátrixszorzat'''uk egy ''m''-szer ''p'' méretű (''m'' sorból, ''p'' oszlopból álló)''AB'' mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:
:<math> (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j] \!\ </math> 
minden ''i''-re és ''j''-re.

Például:
: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\cdot
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     (1 \cdot 3  +  0 \cdot 2  +  2 \cdot 1) & (1 \cdot 1   +   0 \cdot 1   +   2 \cdot 0) \\
    ((-1) \cdot 3  +  3 \cdot 2  +  1 \cdot 1) & ((-1) \cdot 1   +   3 \cdot 1   +   1 \cdot 0) \\
  \end{bmatrix}
=
  
\begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix},
</math>
illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:
:<math>
\begin{matrix}
 &
 \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}\\\\
\begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix} 
& 
\begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}
\end{matrix},</math>
ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

A mátrixszorzatnak a következő tulajdonságai vannak:
* (''AB'')''C'' = ''A''(''BC'') minden ''k''-szor ''m'' méretű ''A'' mátrixra, ''m''-szer ''n'' méretű ''B'' mátrixra és ''n''-szer ''p'' méretű ''C'' mátrixra ("asszociativitás").
* (''A + B'')''C'' = ''AC'' + ''BC'' minden ''m''-szer ''n'' méretű ''A'' és ''B'' mátrixra valamint ''n''-szer ''k'' méretű ''C'' mátrixra ("jobboldali disztributivitás").
* ''C''(''A + B'') = ''CA'' + ''CB'' minden ''m''-szer ''n'' méretű ''A'' és ''B'' valamint ''k''-szor ''m'' méretű ''C'' mátrixra ("baloldali disztributivitás").

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában ''nem'' teljesül; vagyis adott ''A'' és ''B'' összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy ''AB'' ≠ ''BA''.

[[Kategória:Matematika]]