Matematika/Mátrix/Inverz forrásának megtekintése

Egy ''n''-szer ''n''-es ''A'' mátrix akkor és csakis akkor '''invertálható''', ha létezik egy olyan ''B'' mátrix, melyre igaz: ''AB'' = I<sub>''n''</sub> ( = ''BA''). Ebben az esetben a ''B'' mátrix az ''A'' mátrix '''inverz mátrix'''a és ''A''<sup>&minus;1</sup>-al jelölik.

==Invertálható mátrixok tulajdonságai==

Egy <math>A</math> ''n'' &times; ''n'' mátrixra a következő kijelentések egyenértékűek:
*<math>A</math> invertálható.
*''det'' <math>A</math> &ne; 0.
*''rang'' <math>A</math> = ''n''.
*Az <math>Ax = 0 </math> egyenletnek csak a triviális megoldása létezik: <math>x = 0 </math>
*Létezik egy <math>B</math> ''n'' &times; ''n'' mátrix ú.h. <math>AB = I_n</math>.
*<math>A^T</math> invertálható.
*<math>A^T \times A</math> invertálható.

Egy <math>A</math> invertálható mátrix inverze is invertálható, 
:<math>\left(A^{-1}\right)^{-1} = A </math>.
Két azonos méretű <math>A</math> és <math>B</math> invertálható mátrix szorzatának inverze is invertálható, és fennáll a következő egyenlőség:
:<math>\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math>
(a faktorok sorrendje felcserélődik)


==Számítás==

Egy mátrix inverzét a következő módon lehet kiszámolni:

:<math>A^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\left(C_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{j1} \\
C_{12} & \ddots &        & C_{j2} \\
\vdots &        & \ddots & \vdots \\
C_{1i} & \cdots & \cdots & C_{ji} \\
\end{pmatrix}</math>

Ahol:
* |''A''| az ''A'' mátrix determinánsa
* ''C''<sub>''ij''</sub> az ''A'' mínusz az i-edik sor és a j-edik oszlop által képzett mátrix determinánsa megszorozva (-1)<sup>''i+j''</sup> -nel
* ''A''<sup>T</sup> a mátrix transzponáltja (''A''<sup>T</sup><sub>''ij''</sub> = ''A''<sub>''ji''</sub>).

==Példa==
TODO^^

[[Kategória:Matematika]]