Komplex analízis/Topologikus fogalmak forrásának megtekintése

<div style="float:right; margin-left: 1em">__TOC__</div>
==Komplex számkör és reprezentációi==
A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

===Algebrai modell===
A komplex számok olyan 
:<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
:<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math> 
A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük. Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
:(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a 
:&lambda;(''a''+''b''i) = &lambda;''a'' + &lambda;''b''i, a &lambda; valós számmal való szorzással
kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
|-
|}

===Halmazelméleti modell===
Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük). 

A számpár reprezentációban:
:<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a 
:<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe. 

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.

===Geometriai modell===

A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2&times;2-es valós mátrixon M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
:<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\cong\;
\begin{pmatrix}
r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
r\sin\varphi  & r\cos\varphi
\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
:<math>\left\{\begin{pmatrix}
a  & -b\\
b  & \;\;a
\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az  M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.  

=='''C''' topológiája==

'''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra: 
:<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;\overset{\mathrm{def}}{=}\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. &Omega; &sube; '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
:<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
Egy ''A'' &sube; '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban 
:<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>

===Folytonosság===

Azt mondjuk, hogy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' &isin; '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> &supe; ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:


{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
:<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math>  
ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> &isin; Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
# ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
# ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban   
|-
|}

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor


{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvény létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
: <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math>
|-
|}

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak! 
# <math>z\mapsto w + z\,</math> 
# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>  
# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>  

''(Útmutatás: igazoljuk definíció szerint, vagy használjuk fel, hogy véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés folytonos.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos. 

2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos. 

3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris. 

Végül a reciprok:
:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
:<math>\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}\mapsto 
\begin{pmatrix}
\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
\cfrac{-y}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}</math>
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.


</div></div>
</div>

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az 
:<math>f(z)=\left\{
\begin{matrix}
\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
\\
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
\end{matrix}
\right.</math> 

''(Útmutatás: írjuk át kétváltozós valós vektorfüggvénnyé és vizsgáljuk a komponensfüggvények folytonosságát a (0,0)-ban; használjuk a többváltozós függvények határértéke és folytonossága közötti összefüggést! )''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}</math> 

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
és 
:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos. 


</div></div>
</div>

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot. 

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor 
# ''f'' + ''g'' 
# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
# <math>\overline{f}</math> 
# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.  
|-
|}

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

==='''C''' kompaktifikálása===
''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a ''K''-t. Szimbolikusan:
:''K'' kompakt, ha minden (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub> halmazrendszerhez, melyre 
:# &Omega;<sub>i</sub> nyílt minden i&isin;I-re és
:# ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub> 
:létezik J &sube; I véges indexhalmaz, hogy ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;J</sub>
'''R'''<sup>N</sup>-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga '''C''' nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont '''C''' egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével '''C''' kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely '''R'''<sup>3</sup>-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.

[[Image:Riemann sphere1.jpg|right|thumb|300px|A Riemann-gömb és a sztereografikus projekció]]
A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az '''R'''<sup>3</sup>-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az <nowiki>[xy]</nowiki> síkra, mint a '''C''' komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú ''P'' pólust és egy ''a'' + ''b''i komplex szám esetén az (''a'',''b'',0) pontot kössük össze ''P''-vel egy ''e'' egyenes által. Ekkor az ''e'' egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az ''a'' + ''b''i-nek megfelelő pontot. Ha az ''a'' + ''b''i-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:
:<math>a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,</math>

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Igazoljuk a fenti összefüggést!

''(Útmutatás: használjuk fel, hogy hasonló háromszögek megfelelő oldapárjainak aránya egyenlő.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  

Vegyük az ''R'' Riemann-gömbfelület egy (''x'',''y'',''z'') pontját, azaz:
:<math>x^2+y^2+z^2=1\,</math>
Jelöljük ''A''-val a neki megfelelő komplex számot jelölő pontot. Ekkor a ''POAD'' téglalapot berajzolva felírhatjuk a keresett ''r'' = ''OA'' = ''PD'' távolságot. Eszerint a ''PAD'' háromszögben és a vele hasonló P, (x,y,z), (x,y,1) csúcsokkal rendelkező háromszög arányaiból:
:<math>\frac{r}{1}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{1-z}</math>
Mivel egy ''OA'' irányú egységhosszú komplex szám a 
:<math>\frac{x+\mathrm{i}y}{\sqrt{x^2+y^2}}\,</math>
ezért az ''A''-nak megfleelő komplex szám ennek az ''r'' szerese:
:<math>A=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,</math>


'''Megjegyzés.''' Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis 
:<math>z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\,</math> és <math>w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,</math>
Ekkor a ''z'' konjugáltját a ''w''-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:
:<math>w\cdot \overline{z}=1\,</math>
Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy ''w'' nem más, mint a ''z'' ''inverziója'' az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a   
:<math>w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,</math>
leképezés.
Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi. 

</div></div>
</div>

Ha tehát a '''C'''-hez hozzáveszünk egy &infin;-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a ''P'' pólust, akkor a 
:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell &infin; gömbi környezeteit.
Ezek a következő alakú halmazok lesznek:
:<math>\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,</math> 
ahol ''r'' > 0.

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important blue.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy '''C'''U{&infin;} ''kompakt'' és ''sorozatkompakt'' (ez utóbbi azt jelenti, hogy minden benne haladó sorozatból kiválasztható olyan határértékkel rendelkező részsorozat, melynek határértéke is a halmazban van)! Megjegyezzük, hogy valójában a két kijelentés közül bármelyik következik a másikból, mert a kompaktság és a sorozatkompaktság Haussdorf-féle topologikus terekben ekvivalens.

''(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)'' 
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
1. Ha '''C'''U{&infin;}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor &infin;-t is lefedi belőlük egy, mondjuk ''U''. ''U'' lefedi az &infin; egy gömbi környezetét, mondjuk B<sub>r</sub>(&infin;)-t. Elegendő tehát tekintenünk '''C'''U{&infin;} lefedéséhez a halmazrendszerből az ''U''-t és a B<sub>r</sub>(&infin;) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B<sub>r</sub>(&infin;) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.

2. Vegyünk egy '''C'''U{&infin;}-ben haladó sorozatot. Ha végtelen sokszor veszi fel az &infin;-t, akkor a konstans &infin; részsorozat választható ki belőle. Ellenkező esetben a &infin; nélküli tagjaiból alkotott sorozat vagy korlátos '''C'''-ben, vagy nem. Ha korlátos, akkor létezik konvergens részsorozata (B-W). Ha nem korlátos, akkor egyszerű módon kiválaszthatóbelőle egy az &infin;-hez tartó sorozat. 
</div></div>
</div>

===Határérték===
Komplex függvény '''C'''-beli pontban vett '''C'''-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az '''R'''<sup>2</sup> esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A &infin; miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett, '''C'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> az ''A'' torlódási pontja, azaz minden ''r'' > 0 esetén legyen olyan ''a'' &isin; ''A'', hogy ''a'' &isin; B<sub>r</sub>(''u'')\{u}. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}</math> elem határértéke az ''u''-ban, ha 
:minden &epsilon; > 0 esetén létezik olyan &delta; > 0, hogy minden ''z'' &isin; ''A'' &cap; B<sub>&delta;</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''z'') &isin; B<sub>&epsilon;</sub>(''v'')

ahol természetesen a &infin; környezetei a már említett módon értendők. 

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.'''  Igazoljuk definíció szerint, hogy 
#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
#<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
''(Útmutatás: &delta; := &epsilon;.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
1. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| < &delta; esetén, hogy a függvényérték a &infin; &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
:<math>|z|<\varepsilon</math>
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| < &delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/&delta; esetén, hogy a függvényérték a 0-nak &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| > 1/&delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
</div></div>
</div>

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

:Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a &infin;  szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az &infin;), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén  és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az 
::''a'' * ''b'' = ''c''
:definíció jó.
Például a &infin; + &infin; művelet feltétlenül értelmezett és értéke a &infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a &infin;-hez tartó függvény összege is a &infin;-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> &infin; művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.

{| cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
# <math>\infty+z=\infty </math>, 
# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>,  
# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív. 
|-
|}

Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

{| cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #e4fee0;" 
|-
|'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
# <math>\infty+\infty=\infty,\quad\quad\infty-\infty</math>,
# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>, 
# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
# <math>\frac{0}{0}</math>
|-
|}

Ezek a definíciók, a definíció előtt említett elv értelmében jók, azaz 

{|align="center" cellpadding="2" border="0"  style="background-color: #daf2fe;" 
|-
|'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
|-
|}

''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
:<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
''(Útmutatás: használjuk fe, hogy lim<sub>z <math>\to</math> 0</sub>1/z = &infin;.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
'''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:'''
:<math>\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\frac{2}{z}}\;-\;\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\left(\frac{1}{z}+2\right)}\;-\;\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\frac{1}{z}}=2\quad\to 2</math>

<math>\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\frac{1}{z}}\;\cdot\;\underset{\underset{0}{\downarrow}}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\frac{2}{z}}\;\cdot\;\underset{\underset{0}{\downarrow}}{z}=2\quad\to 2</math>

:<math>\frac{\overset{\overset{\infty}{\uparrow}}{\;\cfrac{1}{z}\;}}{\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\cfrac{1}{z}}}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{\overset{\overset{\infty}{\uparrow}}{\cfrac{2}{z}}}{\underset{\underset{\infty}{\downarrow}}{\;\cfrac{1}{z}\;}}=2\quad\to 2</math> 

<math>\frac{\overset{\overset{0}{\uparrow}}{\;z\;}}{\underset{\underset{0}{\downarrow}}{z}}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{\overset{\overset{0}{\uparrow}}{2z}}{\underset{\underset{0}{\downarrow}}{\;z\;}}=2\quad\to 2</math> 

</div></div>
</div>


<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
# <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
# <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,

''(Útmutatás: algebrai átalakítások után tekintsük a komponensfüggvények határértékét vagy vezessük vissza már ismert komplex határértékekre.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
1. nemnulla ''z''-re:
:<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\underset{z\to -i}{\longrightarrow}\quad\infty</math>

3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>

4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
csak a valós részt nézve:
:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.  

5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.

</div></div>
</div>

<div style="float:right; margin-left:1em;">[[Image:Nuvola apps important square.svg|30px| ]]
</div>
'''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
''(Útmutatás: írjuk fel az értelmezési tartományukat, vizsgáljuk azon belül a folytonosságot, a határon pedig a határértéket.)''
<div class="NavFrame">     
<div class="NavHead" >Megoldás</div>
<div class="NavContent" align="left">  
1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
:<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
''z''<sub>0</sub>  &ne; 0 esetén 
:<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
''z''<sub>0</sub>  = 0 esetén: 
:<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
ismert, hogy nincs határérték.

2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
:<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
</div></div>
</div>


[[Kategória: Komplex analízis]]