52. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia forrásának megtekintése

==Feladatok==
===1. nap===
====1. feladat====
Az <math>A = \left\{ a1,a2,a3,a4\right\}</math> halmaz négy, páronként különböző pozitív egész számból áll.
Az <math>a1+a2+a3+a4</math> összeget jelöljük <math>s_A</math>-val, és jelölje <math>n_A</math> az olyan <math>(i,j)</math> párok (<math>1 \leq i<j \leq 4</math>) számát, amelyekre <math>a_i + a_j</math> osztója <math>s_A</math>-nak.
Határozzuk meg az összes olyan A halmazt, amelyre <math>n_A</math> a lehetséges maximális értékét veszi fel.

====2. feladat====
Legyen S a sík pontjainak egy véges, legalább két elemű halmaza. Feltesszük, hogy az <math>S</math> halmaz semelyik három pontja sincs egy egyenesen.
Egy ''szélmalom''nak nevezett folyamat során kiindulunk egy <math>l</math> egyenesből, amely az <math>S</math> halmaznak
pontosan egy <math>P</math> pontját tartalmazza. Az egyenes a <math>P</math> ''forgástengely'' körül az óramutató járásával
megegyező irányban forog addig, amíg először nem találkozik egy másik, <math>S</math> halmazba tartozó ponttal. Ekkor ez a <math>Q</math> pont lesz az új forgástengely, és az egyenes a <math>Q</math> pont körül forog tovább az óramutató járásával megegyező irányban egészen addig, míg újra nem találkozik egy <math>S</math> halmazba tartozó ponttal. Ez a folyamat vég nélkül folytatódik.
Bizonyítsuk be, hogy megválaszthatjuk a <math>P\in S</math> pontot és a P-n át menő <math>l</math> egyenest úgy, hogy az <math>S</math> halmaz minden pontja végtelen sokszor legyen a szélmalom forgástengelye.
====3. feladat====
Legyen f : R → R egy olyan függvény, amelyre teljesül az
:<math>f(x + y) \leq yf(x)+ f(f(x))</math>
feltétel minden  <math>x,y</math> valós számra. Bizonyítsuk be, hogy minden <math>x \leq 0</math> esetén teljesül <math>f(x)=0</math>.

=== 2. nap ===

==== 4. feladat====
 
Legyen <math>n>0</math> egy egész szám. Van egy kétkarú mérlegünk és <math>n</math> súlyunk, amelyek súlya <math>2^0, 2^1, ..., 2^{n-1}</math>. Ezt az <math>n</math> súlyt egymás után a mérlegre akarjuk helyezni oly módon, hogy jobb oldali serpenyő soha ne legyen nehezebb a baloldali serpenyőnél. Mindegyik lépésben kiválasztjuk az eddig a mérlegre nem tett súlyok valamelyikét, és a mérlegnek vagy a baloldali vagy a jobboldali serpenyőjébe helyezzük, egészen addig, amíg az összes súly fel nem kerül a mérlegre. Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet ezt megtenni.
==== 5. feladat ====
Jelölje Z az egész számok halmazát, N pedig a pozitív egész számok halmazát. Legyen f egy Z-t N-be képező függvény. Tegyük fel, hogy bármilyen két <math>m</math> és <math>n</math> egész szám esetén az <math>f(m)-f(n)</math> különbség osztható <math>f(m-n)</math>-nel.
Bizonyítsuk be, hogyminden <math>m, n</math> egész számra teljesül az, hogy ha <math>f(m)\leq f(n)</math>,akkor <math>f(n)</math>
osztható <math>f(m)</math>-mel.
==== 6. feladat ====
Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, Γ a háromszög körülírt köre és <math>l</math> Γ egy érintő egyenese. Jelölje <math>l_a, l_b, l_c</math> azokat az egyeneseket, amelyeket úgy kapunk, hogy <math>l</math>-et a <math>BC, CA</math> ill. <math>AB</math> egyenesekre tükrözzük. Bizonyítsuk be, hogy az <math>l_a, l_b, l_c</math> egyenesek által meghatározott háromszög körülírt köre érinti a Γ kört.

{{wikipédia}}
{{-}}
<div style="margin:2em; padding:0.5em; border: 3px groove #33a; border-style: groove none groove none; text-align: center;">
{| align="center" border=0
|align="center"|[[51. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia|Következő lap<br>(51. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)]]
|–
|align="center"|[[53. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia|Következő lap<br>(53. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)]]
|}
</div>


[[Kategória:Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák]]