45. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia forrásának megtekintése

==Feladatok==

===Első nap===

====1. feladat====
Legyen <math>ABC</math> hegyesszögű háromszög, amiben <math>AB</math>&ne;<math>AC</math>. A <math>BC</math> átmérőjű kör az <math>AB</math>, ill. <math>AC</math> oldalakat az <math>M</math>, ill. <math>N</math> pontokban metszi. Jelölje <math>O</math> a <math>BC</math> oldal középpontját. A <math>BAC</math>&ang; és <math>MON</math>&ang; szögek szögfelezői az <math>R</math> pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a <math>BMR</math> és <math>CNR</math> háromszögek körülírt köreinek van olyan közös pontja, ami a <math>BC</math> oldalon fekszik.

====2. feladat====
Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós <math>P(x)</math> polinomot, amely kielégíti a
:<math>P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2 P(a+b+c)</math>
egyenlőséget, valahányszor <math>a, b, c</math> olyan valós számok, amelyekre teljesül
<math>ab+bc+ca=0</math>.

====3. feladadt====

Nevezzük horognak az alábbi ábrán látható, hat egységnégyzetből álló alakzatot valamint minden olyan alakzatot, amely ebből forgatásokkal és tükrözésekkel kapható.

Határozzuk meg az összes olyan <math>mxn</math>-es téglalapot, ami lefedhető horgokkal úgy, hogy
*a lefedés hézagmentes és átfedések nélküli,
*semelyik horognak nem nyúlik semelyik része sem a téglalapon kívülre.

=== Második nap ===


==== 4. feladat==== 

Legyen <math>n</math>&ge;3 egész szám. Legyenek <math>t_1, t_2, ..., t_n</math> pozitív valós számok, amelyekre teljesül

:<math>n^2 +1 >(t_1+t_2+...+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+...+\frac{1}{t_n}\right) </math>

Mutassuk meg, hogy <math>t_i, t_j, t_k</math> egy háromszög oldalhosszai minden olyan <math>i, j, k</math> esetén, amikre 1&le;<math>i<j<k</math>&le;<math>n</math> teljesül.

====5. feladat====
Egy <math>ABCD</math> konvex négyszögben a <math>BD</math> átló nem szögfelezője sem az <math>ABC</math>, sem a <math>CDA</math> szögnek. A <math>P</math> pont az <math>ABCD</math> négyszög belsejében fekszik, és teljesül rá
:<math>PBC\angle=DBA\angle</math> és <math>PDC\angle=BDA\angle</math>.

Bizonyítsuk be, hogy <math>ABCD</math> akkor és csak akkor húrnégyszög, ha <math>AP=CP</math>.

====6. feladat====

Egy pozitív egész számot ''alternáló''nak nevezünk, ha a tízes számrendszerbeli felírásában a szomszédos számjegyek mindig különböző paritásúak.

Határozzuk meg az összes olyan <math>n</math> pozitív egész számot, amire igaz az, hogy <math>n</math>-nek van olyan többszöröse, ami alternáló szám.


<div style="margin:2em; padding:0.5em; border: 3px groove #33a; border-style: groove none groove none; text-align: center;">
{| align="center" border=0
|align="center"|[[44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia|Előző lap<br>(44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)]]
|–
|align="center"|[[46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia|Következő lap<br>(46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)]]
|}
</div>

[[Kategória:Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák]]