1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/2. feladat forrásának megtekintése

<div style="margin:2em; padding:0.5em; border: 3px groove #33a; border-style: groove none groove none; text-align: center;">
{| align="center" border=0
|align="center"|[[1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/1. feladat|1. feladat]]
|–
|align="center"|'''[[1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia]]'''
|–
|align="center"|[[1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/3. feladat|3. feladat]]
|}
</div>

Ezt a problémát Románia javasolta kitűzésre.<ref>[http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=4498 Mathlinks: IMO feladatok és szerzőik]</ref>

'''''A feladat:'''''

Milyen <math>x</math> valós számra lesznek igazak az alábbi egyenletek:
:<math>a)</math> <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt2</math>
:<math>b)</math> <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1</math>
:<math>c)</math> <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2</math>

==Megoldás==

A <math>\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=a</math> egyenlet megoldásához először is emeljük négyzetre mindkét oldalt. (Ez ekvivalens átalakítás, mivel mindkettő pozitív.) Ebből rendezés után a következőt kapjuk: <math>2x+2\sqrt{x^2-2x+1}=a^2</math>. A gyök alatt <math>(x-1)^2</math>, található, aminek gyöke (attól függően, hogy melyik pozitív) <math>x-1</math> vagy <math>1-x</math>. Tegyük fel, hogy <math>\frac12\le x\le 1</math> (<math>x</math> legalább <math>\frac12</math>, mivel különben nem lenne értelme a <math>\sqrt{2x-1}</math>-nek). Ekkor az egyenlet: <math>2x+2-2x=2=a^2</math>, azaz <math>a=\sqrt2</math>. Ha <math>x>1</math>, akkor az egyenlet: <math>2<4x-2=a^2</math>. Tehát <math>a>\sqrt2</math>, így az <math>a)</math> egyenletet pontosan az <math>\frac12\le x\le1</math> értékek elégítik ki, a <math>b)</math> egyenletnek viszont egyik esetben sem lesz megoldása, vagyis nincs annak megfelelő <math>x</math>. Még meg kell találnunk a harmadik egyenlet gyökét, azaz amikor <math>a=2</math>. Ekkor <math>4x-2=4</math>, vagyis <math>4x=6</math>, tehát <math>x=\frac32</math>. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez jó megoldás, a bizonyítást befejeztük.

==Források==
<references />

<div style="margin:2em; padding:0.5em; border: 3px groove #33a; border-style: groove none groove none; text-align: center;">
{| align="center" border=0
|align="center"|[[1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/1. feladat|1. feladat]]
|–
|align="center"|'''[[1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia]]'''
|–
|align="center"|[[1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/3. feladat|3. feladat]]
|}
</div>

[[Kategória:Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák feladatainak megoldása]]